9.3b Tunneleffekt und Potentialtopf

Quelle: Mappe S. 95 · ➕ Themenpool

Zwei zentrale Folgen der Wellennatur der Materie ($\psi$, §9.3a) — beide klassisch unmöglich, quantenmechanisch aber Standard.

Der Tunneleffekt

Klassisch gilt: Ein Teilchen mit zu wenig Energie kann eine Energiebarriere (einen „Wall") nicht überwinden — wie eine Kugel, die nicht genug Schwung hat, einen Hügel zu übersteigen, und zurückrollt. Quantenmechanisch ist das anders:

Tunneleffekt = Ein Teilchen durchdringt eine Potentialbarriere, die es klassisch nicht überwinden könnte (seine Energie ist kleiner als die Barrierenhöhe). Es erscheint mit gewisser Wahrscheinlichkeit auf der anderen Seite, als hätte es einen „Tunnel" genommen.

Warum geht das? Die Wellenfunktion $\psi$ wird an der Barriere nicht sofort null, sondern klingt im Inneren der Barriere nur exponentiell ab. Ist die Barriere dünn genug, ist $\psi$ dahinter noch > 0 — also gibt es nach der Born'schen Deutung ($|\psi {|}^2$, §9.3a) eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit jenseits der Barriere.

✎ Die Tunnelwahrscheinlichkeit sinkt sehr schnell (exponentiell) mit der Dicke und Höhe der Barriere sowie mit der Masse des Teilchens — deshalb tunneln leichte Teilchen (Elektronen) viel leichter als schwere, und nur dünne Barrieren werden durchdrungen.

Anwendungen / Beispiele:

• Alpha-Zerfall: Das $\alpha$-Teilchen tunnelt aus dem Kern durch den Potentialwall der Kernkraft hinaus — erklärt, warum radioaktive Kerne überhaupt zerfallen (siehe Thema 12).
• Rastertunnelmikroskop (STM): Zwischen einer feinen Spitze und der Probe tunneln Elektronen durch das Vakuum; der Tunnelstrom hängt extrem empfindlich vom Abstand ab → man bildet einzelne Atome auf Oberflächen ab.
• Tunneldiode: ein elektronisches Bauteil, dessen Funktion direkt auf dem Tunneln von Elektronen beruht (sehr schnelle Schaltzeiten).

Potentialtopf (Teilchen im Kasten)

Das einfachste quantenmechanische Modell für ein gebundenes Teilchen: Ein Teilchen sitzt in einem Potentialtopf („Kasten") — innen frei beweglich, an den Wänden aber eingesperrt (es kann den Topf nicht verlassen). Das Modell zeigt, woher die Energiequantelung kommt.

Weil $\psi$ an den Wänden des Topfes null sein muss (Randbedingung), passen — wie bei einer eingespannten Saite — nur bestimmte stehende Wellen hinein. Jede erlaubte stehende Welle hat eine feste Wellenlänge und damit (über $\lambda =h/p$, §9.3a) eine feste Energie:

$$E_n\propto n^2,n=1,2,3,\dots$$

Die diskreten Energieniveaus sind also eine direkte Folge der Randbedingungen für $\psi$. Genau das ist der tiefere Grund für die „Stufen" aus §9.2 und Bohrs Bahnen aus §9.2a: nicht ein künstliches Postulat, sondern die Wellennatur des eingesperrten Teilchens.

✎ Analogie: Wie eine Gitarrensaite nur bei bestimmten Frequenzen (Grundton + Obertöne) schwingt, weil sie an beiden Enden fest ist, „darf" das eingesperrte Teilchen nur bestimmte Energien haben. Der niedrigste Zustand ($n=1$) hat dabei eine Energie größer als null — das ist (wie in §9.7) die Nullpunktsenergie: Ruhe mit $E=0$ wäre durch die Heisenberg-Unschärfe verboten.